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Examens nationaux

Baccalauréat · Série C · Mathématiques — 2018

BAC C — Mathématiques — Sujet type n° 7

  • Série C
  • ⏱ 4 h
  • Coefficient 5
  • Niveau difficile
  • 14 questions

Consignes

  • Le candidat traitera les deux exercices et le problème.
  • La calculatrice scientifique non programmable est autorisée.

Exercice 1 — Probabilités

Une urne contient 55 boules vertes, 33 boules rouges et 22 boules noires, indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise 33 boules.

1.
Calculer le nombre de tirages possibles.
1 pt
2.
Calculer la probabilité d'obtenir trois boules vertes.
1,5 pts
3.
Calculer la probabilité d'obtenir exactement une boule rouge.
1,5 pts
4.
Calculer la probabilité d'obtenir au moins une boule noire.
1 pt

Exercice 2 — Nombres complexes

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; u⃗ , v⃗)(O\,;\,\vec{u}\,,\,\vec{v}).

1.
Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation   z2−23 z+4=0\;z^{2} - 2\sqrt{3}\,z + 4 = 0.
1,5 pts
2.
Déterminer le module et un argument de z1=3+iz_1 = \sqrt{3} + i.
1,5 pts
3.
En déduire la valeur de z1 6z_1^{\,6}.
1 pt
4.
Déterminer et construire l'ensemble (Γ)(\Gamma) des points MM d'affixe zz tels que   ∣z−z1∣=∣z−z1‾∣\;|z - z_1| = |z - \overline{z_1}|.
1 pt

Problème — Étude d'une fonction exponentielle

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :

f(x)=x2 e−xf(x) = x^{2}\,e^{-x}

On note (C)(\mathcal{C}) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité 2 cm2\ \mathrm{cm}.

Partie A — Limites et variations

1.
Calculer les limites de ff en −∞-\infty et en +∞+\infty. Interpréter graphiquement le second résultat.
2 pts
2.
Montrer que f′(x)=x (2−x) e−xf'(x) = x\,(2 - x)\,e^{-x}.
2 pts
3.
Étudier le signe de f′(x)f'(x) et dresser le tableau de variation de ff.
2 pts
4.
Préciser les extremums de ff et donner la valeur exacte du maximum.
1 pt

Partie B — Primitive et aire

5.
Montrer que F(x)=−(x2+2x+2)e−xF(x) = -\left(x^{2} + 2x + 2\right)e^{-x} est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.
1,5 pts
6.
Calculer, en unités d'aire, l'aire du domaine limité par (C)(\mathcal{C}), l'axe des abscisses et les droites x=0x = 0 et x=2x = 2. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à 10−210^{-2}.
1,5 pts

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