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Examens nationaux

Baccalauréat · Série C · Mathématiques — 2019

BAC C — Mathématiques — Sujet type n° 6

  • Série C
  • ⏱ 4 h
  • Coefficient 5
  • Niveau difficile
  • 15 questions

Consignes

  • Le candidat traitera les deux exercices et le problème.
  • La calculatrice scientifique non programmable est autorisée.
  • La qualité de la rédaction et la rigueur des raisonnements entrent pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Exercice 1 — Suites numériques

Une coopérative maraîchère de Loumbila irrigue ses parcelles avec un bassin de rétention. Chaque mois, il reste le tiers du volume précédent, et la coopérative y ajoute 44 milliers de mètres cubes. On note unu_n le volume, en milliers de m3\mathrm{m}^3, au bout de nn mois, avec u0=1u_0 = 1.

un+1=13 un+4u_{n+1} = \frac{1}{3}\,u_n + 4
1.
Calculer u1u_1 et u2u_2. Donner les résultats sous forme de fractions irréductibles.
1 pt
2.
On pose vn=un−6v_n = u_n - 6 pour tout entier naturel nn. Démontrer que la suite (vn)(v_n) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
1,5 pts
3.
Exprimer vnv_n, puis unu_n, en fonction de nn.
1,5 pts
4.
En déduire lim⁡n→+∞un\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n et interpréter ce résultat pour la coopérative.
1 pt

Exercice 2 — Nombres complexes et transformation

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; u⃗ , v⃗)(O\,;\,\vec{u}\,,\,\vec{v}). On considère l'application SS qui, à tout point MM d'affixe zz, associe le point M′M' d'affixe z′z' telle que :

z′=i z+1+iz' = i\,z + 1 + i
1.
Déterminer l'affixe du point A′A', image du point AA d'affixe 22.
1 pt
2.
Montrer que SS admet un unique point invariant Ω\Omega, dont on déterminera l'affixe ω\omega.
1,5 pts
3.
Démontrer que, pour tout complexe zz,   z′−ω=i (z−ω)\;z' - \omega = i\,(z - \omega).
1,5 pts
4.
En déduire la nature de SS et ses éléments caractéristiques.
1 pt

Problème — Étude d'une fonction exponentielle

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :

f(x)=(x−1) exf(x) = (x - 1)\,e^{x}

On note (C)(\mathcal{C}) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité 2 cm2\ \mathrm{cm}.

Partie A — Limites et variations

1.
Calculer lim⁡x→−∞f(x)\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) et lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x). Interpréter graphiquement le premier résultat.
2 pts
2.
Montrer que, pour tout réel xx, f′(x)=x exf'(x) = x\,e^{x}.
1,5 pts
3.
Étudier le signe de f′(x)f'(x), puis dresser le tableau de variation de ff.
1,5 pts
4.
Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation f(x)=0f(x) = 0 et en déduire le point d'intersection de (C)(\mathcal{C}) avec l'axe des abscisses.
1 pt

Partie B — Tangente et calcul d'aire

5.
Déterminer une équation de la tangente (T)(T) à (C)(\mathcal{C}) au point d'abscisse 00.
1 pt
6.
Montrer que la fonction FF définie sur R\mathbb{R} par F(x)=(x−2) exF(x) = (x - 2)\,e^{x} est une primitive de ff.
1,5 pts
7.
Calculer, en unités d'aire, l'aire A\mathcal{A} du domaine limité par (C)(\mathcal{C}), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0x = 0 et x=1x = 1. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à 10−210^{-2} près.
1,5 pts

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