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Examens nationaux

Baccalauréat · Série C · Mathématiques — 2020

BAC C — Mathématiques — Sujet type n° 5

  • Série C
  • ⏱ 4 h
  • Coefficient 5
  • Niveau difficile
  • 14 questions

Consignes

  • Le candidat traitera les deux exercices et le problème.
  • La calculatrice scientifique non programmable est autorisée.
  • La qualité de la rédaction et la rigueur des raisonnements entrent pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Exercice 1 — Probabilités

Une savonnerie de Bobo-Dioulasso produit des savons de karité sur deux machines. La machine AA assure 60 %60\ \% de la production et la machine BB le reste. On constate que 2 %2\ \% des savons issus de AA sont défectueux, contre 5 %5\ \% de ceux issus de BB.

On prélève un savon au hasard dans la production. On note AA et BB les événements correspondant à la machine d'origine, et DD l'événement « le savon est défectueux ».

1.
Construire un arbre pondéré, puis calculer la probabilité qu'un savon prélevé au hasard soit défectueux.
1,5 pts
2.
Un savon prélevé se révèle défectueux. Calculer la probabilité qu'il provienne de la machine AA. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
1,5 pts
3.
On prélève successivement et avec remise 1010 savons de la production. Calculer la probabilité qu'aucun ne soit défectueux. Arrondir à 10−310^{-3}.
2 pts

Exercice 2 — Nombres complexes

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; u⃗ , v⃗)(O\,;\,\vec{u}\,,\,\vec{v}). On considère le polynôme défini pour tout z∈Cz \in \mathbb{C} par :

P(z)=z3−3z2+4z−12P(z) = z^{3} - 3z^{2} + 4z - 12
1.
Montrer que 33 est une racine de PP.
1 pt
2.
En déduire une factorisation de P(z)P(z).
1,5 pts
3.
Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation P(z)=0P(z) = 0.
1,5 pts
4.
Soient AA, BB et CC les points d'affixes respectives 33, 2i2i et −2i-2i. Déterminer la nature du triangle ABCABC et calculer son aire en unités d'aire.
1 pt

Problème — Étude d'une fonction logarithme

On considère la fonction ff définie sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par :

f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}

On note (C)(\mathcal{C}) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité 2 cm2\ \mathrm{cm}.

Partie A — Limites et variations

1.
Calculer lim⁡x→0+f(x)\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} f(x) et lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x). Interpréter graphiquement chacun des deux résultats.
2 pts
2.
Montrer que, pour tout x>0x > 0, f′(x)=1−ln⁡xx2f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^{2}}.
2 pts
3.
Étudier le signe de f′(x)f'(x) et dresser le tableau de variation de ff.
2 pts
4.
Donner la valeur exacte du maximum de ff.
1 pt

Partie B — Tangente et calcul d'aire

5.
Déterminer une équation de la tangente (T)(T) à (C)(\mathcal{C}) au point d'abscisse 11.
1 pt
6.
Montrer que la fonction FF définie sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par F(x)=(ln⁡x)22F(x) = \dfrac{(\ln x)^{2}}{2} est une primitive de ff.
1 pt
7.
Calculer, en cm2\mathrm{cm}^{2}, l'aire du domaine limité par (C)(\mathcal{C}), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=1x = 1 et x=ex = e.
1 pt

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