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Examens nationaux

Baccalauréat · Série C · Mathématiques — 2021

BAC C — Mathématiques — Sujet type n° 4

  • Série C
  • ⏱ 4 h
  • Coefficient 5
  • Niveau difficile
  • 15 questions

Consignes

  • Le candidat traitera les deux exercices et le problème.
  • La calculatrice scientifique non programmable est autorisée.
  • La qualité de la rédaction et la rigueur des raisonnements entrent pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Exercice 1 — Arithmétique

1.
Résoudre dans Z2\mathbb{Z}^{2} l'équation 7x−5y=17x - 5y = 1.
2 pts
2.
Déterminer le reste de la division euclidienne de 720217^{2021} par 55.
1,5 pts
3.
Soit nn un entier naturel. Montrer que 2n+32n + 3 et n+1n + 1 sont premiers entre eux.
1,5 pts

Exercice 2 — Nombres complexes et similitude

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; u⃗ , v⃗)(O\,;\,\vec{u}\,,\,\vec{v}). On considère l'application SS qui, à tout point MM d'affixe zz, associe le point M′M' d'affixe :

z′=(1+i) z+2z' = (1 + i)\,z + 2
1.
Écrire 1+i1 + i sous forme exponentielle.
1 pt
2.
Déterminer l'affixe du point invariant Ω\Omega de SS.
1,5 pts
3.
En déduire la nature de SS et ses éléments caractéristiques.
1,5 pts
4.
Déterminer l'affixe du point A′A', image du point AA d'affixe zA=1z_{A} = 1.
1 pt

Problème — Fonction exponentielle et calcul d'aire

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(2−x) exf(x) = (2 - x)\,e^{x}, de courbe représentative (C)(\mathcal{C}) dans un repère orthonormé d'unité 1 cm1\ \mathrm{cm}.

Partie A — Limites et variations

1.
Calculer lim⁡x→−∞f(x)\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) et lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x). Interpréter graphiquement le premier résultat.
1,5 pts
2.
Montrer que f′(x)=(1−x) exf'(x) = (1 - x)\,e^{x}.
1,5 pts
3.
Étudier le signe de f′(x)f'(x) et dresser le tableau de variation de ff.
2 pts
4.
Donner la valeur exacte du maximum de ff.
1 pt

Partie B — Tangente et intersection

5.
Déterminer une équation de la tangente (T)(T) à (C)(\mathcal{C}) au point d'abscisse 00.
1 pt
6.
Résoudre f(x)=0f(x) = 0 et préciser le signe de ff sur R\mathbb{R}.
0,5 pt

Partie C — Calcul d'aire

On pose F(x)=(3−x) exF(x) = (3 - x)\,e^{x}.

7.
Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.
1 pt
8.
Calculer, en cm2\mathrm{cm}^{2}, l'aire du domaine limité par (C)(\mathcal{C}), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0x = 0 et x=2x = 2. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10−210^{-2} près.
1,5 pts

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