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Examens nationaux

Baccalauréat · Série C · Mathématiques — 2022

BAC C — Mathématiques — Sujet type n° 3

  • Série C
  • ⏱ 4 h
  • Coefficient 5
  • Niveau difficile
  • 14 questions

Consignes

  • Le candidat traitera les TROIS exercices.
  • La calculatrice non programmable est autorisée.
  • La rigueur du raisonnement et la clarté de la rédaction entrent dans la notation.

Exercice 1 — Nombres complexes et transformations

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère les points AA, BB et CC d'affixes respectives :

zA=2;zB=1+i3;zC=−1+i3z_A = 2 \qquad ; \qquad z_B = 1 + i\sqrt{3} \qquad ; \qquad z_C = -1 + i\sqrt{3}
1.
Calculer le module de zBz_B.
1 pt
2.
Écrire zBz_B sous forme exponentielle.
1,5 pts
3.
Calculer zCzB\dfrac{z_C}{z_B} et en déduire la nature du triangle OBCOBC, où OO est l'origine.
1,5 pts
4.
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation ff qui, à tout point MM d'affixe zz, associe le point M′M' d'affixe z′=eiπ3 zz' = e^{i\frac{\pi}{3}}\,z.
1 pt

Exercice 2 — Suites et raisonnement par récurrence

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=1u_0 = 1 et, pour tout entier naturel nn :

un+1=3unun+3u_{n+1} = \frac{3u_n}{u_n + 3}
1.
Calculer u1u_1 et u2u_2 sous forme de fractions irréductibles.
1 pt
2.
Démontrer par récurrence que un>0u_n > 0 pour tout entier naturel nn.
1,5 pts

On pose, pour tout entier naturel nn : vn=1unv_n = \dfrac{1}{u_n}.

3.
Démontrer que (vn)(v_n) est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme.
1,5 pts
4.
En déduire unu_n en fonction de nn, puis la limite de la suite.
1 pt

Exercice 3 — Problème : fonction exponentielle et intégrale

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :

f(x)=(x+1) e−xf(x) = (x + 1)\,e^{-x}

On note (C)(\mathcal{C}) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité 2 cm2\ \mathrm{cm}.

Partie A — Étude de la fonction

1.
Calculer les limites de ff en −∞-\infty et en +∞+\infty, et en déduire l'existence d'une asymptote.
2 pts
2.
Démontrer que f′(x)=−x e−xf'(x) = -x\,e^{-x}, puis dresser le tableau de variation de ff.
2,5 pts
3.
Calculer f(0)f(0) et donner l'équation de la tangente à (C)(\mathcal{C}) au point d'abscisse 00.
1,5 pts

Partie B — Calcul d'aire

4.
Vérifier que la fonction FF définie par F(x)=−(x+2) e−xF(x) = -(x+2)\,e^{-x} est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.
2 pts
5.
Calculer I=∫01f(x) dx\displaystyle I = \int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au centième.
1,5 pts
6.
En déduire, en cm2\mathrm{cm}^{2}, l'aire du domaine limité par (C)(\mathcal{C}), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0x = 0 et x=1x = 1.
0,5 pt

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