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Examens nationaux

Baccalauréat · Série C · Mathématiques — 2023

BAC C — Mathématiques — Sujet type n° 2

  • Série C
  • ⏱ 4 h
  • Coefficient 5
  • Niveau difficile
  • 12 questions

Consignes

  • L'usage de la calculatrice non programmable est autorisé.
  • Le candidat traitera les DEUX exercices et le problème.
  • La qualité de la rédaction et la rigueur des raisonnements entrent pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Exercice 1 — Nombres complexes

On considère dans C\mathbb{C} l'équation du second degré :

z2−2z+4=0z^{2} - 2z + 4 = 0
1.
Résoudre cette équation dans C\mathbb{C}. On notera z1z_1 la solution de partie imaginaire positive.
2 pts
2.
Déterminer le module et un argument de z1z_1.
1,5 pts
3.
Écrire z1z_1 sous forme exponentielle.
1,5 pts

Exercice 2 — Dénombrement et probabilités

Une urne contient 1010 boules indiscernables au toucher : 55 rouges, 33 blanches et 22 vertes. On tire simultanément 33 boules de l'urne.

1.
Déterminer le nombre de tirages possibles.
1,5 pts
2.
Calculer la probabilité d'obtenir trois boules rouges. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
1,5 pts
3.
Calculer la probabilité d'obtenir exactement deux boules rouges. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
2 pts

Problème — Fonction exponentielle et calcul intégral

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :

f(x)=(2−x) exf(x) = (2 - x)\,e^{x}

On note (C)(\mathcal{C}) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité 22 cm.

Partie A — Étude de la fonction

1.
Déterminer les limites de ff en −∞-\infty et en +∞+\infty.
1,5 pts
2.
Démontrer que, pour tout réel xx, f′(x)=(1−x) exf'(x) = (1 - x)\,e^{x}, puis étudier son signe.
2 pts
3.
Dresser le tableau de variation de ff et préciser son maximum.
2 pts
4.
Déterminer une équation de la tangente (T)(T) à la courbe (C)(\mathcal{C}) au point d'abscisse 00.
1,5 pts

Partie B — Calcul intégral

5.
À l'aide d'une intégration par parties, calculer I=∫01(2−x) ex dx\displaystyle I = \int_{0}^{1} (2 - x)\,e^{x}\,\mathrm{d}x.
2,5 pts
6.
Donner une interprétation graphique de II, en justifiant le signe de ff sur l'intervalle considéré.
0,5 pt

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