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Examens nationaux

Baccalauréat · Série D · Mathématiques — 2015

BAC D — Mathématiques — Sujet type n° 10

  • Série D
  • ⏱ 4 h
  • Coefficient 5
  • Niveau difficile
  • 15 questions

Consignes

  • Le candidat traitera les deux exercices et le problème.
  • La calculatrice scientifique non programmable est autorisée.
  • La qualité de la rédaction et la clarté des raisonnements entrent pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Exercice 1 — Suites numériques

Un producteur de mangues des Hauts-Bassins possède une plantation de 500500 manguiers. Chaque année, 10 %10\ \% des arbres meurent ou deviennent improductifs, et le producteur replante 8080 nouveaux plants.

On note unu_{n} le nombre de manguiers productifs au bout de nn années, avec u0=500u_{0} = 500.

1.
Justifier que un+1=0,9 un+80u_{n+1} = 0{,}9\,u_{n} + 80, puis calculer u1u_{1} et u2u_{2}.
1 pt
2.
On pose vn=un−800v_{n} = u_{n} - 800. Montrer que la suite (vn)(v_{n}) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
1,5 pts
3.
Exprimer vnv_{n}, puis unu_{n}, en fonction de nn.
1,5 pts
4.
Calculer lim⁡n→+∞un\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_{n} et interpréter ce résultat pour le producteur.
1 pt

Exercice 2 — Probabilités et variable aléatoire

À l'occasion d'une fête à Gaoua, un stand propose le jeu suivant. Une urne contient 1010 boules indiscernables au toucher : 33 boules gagnantes et 77 boules perdantes. Le joueur mise 500500 francs CFA, puis tire simultanément 22 boules. Chaque boule gagnante lui rapporte 1 0001\,000 francs CFA.

On note XX la variable aléatoire égale au nombre de boules gagnantes obtenues.

1.
Déterminer la loi de probabilité de XX.
2 pts
2.
Calculer l'espérance mathématique E(X)E(X).
1,5 pts
3.
On note GG le gain algébrique du joueur, mise déduite. Exprimer GG en fonction de XX, calculer E(G)E(G) et dire si le jeu est favorable au joueur.
1,5 pts

Problème — Étude d'une fonction logarithme

On considère la fonction ff définie sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par :

f(x)=12x2−2ln⁡xf(x) = \frac{1}{2}x^{2} - 2\ln x

On note (C)(\mathcal{C}) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité 1 cm1\ \mathrm{cm}.

Partie A — Limites et variations

1.
Calculer lim⁡x→0+f(x)\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} f(x) et lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x). Interpréter graphiquement le premier résultat.
1,5 pts
2.
Montrer que, pour tout x>0x > 0, f′(x)=x2−2xf'(x) = \dfrac{x^{2} - 2}{x}.
1,5 pts
3.
Étudier le signe de f′(x)f'(x) sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ et dresser le tableau de variation de ff.
2 pts
4.
Donner la valeur exacte du minimum de ff.
1 pt

Partie B — Tangente et position de la courbe

5.
Déterminer une équation de la tangente (T)(T) à (C)(\mathcal{C}) au point d'abscisse 11.
1 pt
6.
Montrer que la courbe (C)(\mathcal{C}) ne coupe pas l'axe des abscisses.
1 pt

Partie C — Calcul d'aire

On considère la fonction FF définie sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par F(x)=x36−2xln⁡x+2xF(x) = \dfrac{x^{3}}{6} - 2x\ln x + 2x.

7.
Montrer que FF est une primitive de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.
1 pt
8.
Calculer, en cm2\mathrm{cm}^{2} et à 10−210^{-2} près, l'aire du domaine limité par (C)(\mathcal{C}), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=1x = 1 et x=2x = 2.
1 pt

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