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Examens nationaux

Baccalauréat · Série D · Mathématiques — 2016

BAC D — Mathématiques — Sujet type n° 9

  • Série D
  • ⏱ 4 h
  • Coefficient 5
  • Niveau difficile
  • 16 questions

Consignes

  • Le candidat traitera les deux exercices et le problème.
  • La calculatrice scientifique non programmable est autorisée.
  • La qualité de la rédaction et la clarté des raisonnements entrent pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Exercice 1 — Probabilités conditionnelles

Une usine d'égrenage de la SOFITEX, à Bobo-Dioulasso, reçoit ses balles de coton de trois zones de production : la zone AA fournit 50 %50\ \% des balles, la zone BB en fournit 30 %30\ \% et la zone CC le reste.

Un contrôle de qualité montre que 90 %90\ \% des balles issues de AA, 80 %80\ \% de celles issues de BB et 60 %60\ \% de celles issues de CC sont de qualité supérieure.

On prélève une balle au hasard dans le stock. On note AA, BB, CC les événements « la balle provient de la zone AA (resp. BB, CC) » et SS l'événement « la balle est de qualité supérieure ».

1.
Construire un arbre pondéré décrivant cette situation.
1 pt
2.
Calculer la probabilité P(S)P(S) qu'une balle prélevée au hasard soit de qualité supérieure.
1,5 pts
3.
La balle prélevée est de qualité supérieure. Calculer la probabilité qu'elle provienne de la zone AA. On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible.
1,5 pts
4.
On prélève successivement et avec remise 44 balles du stock. Calculer la probabilité qu'exactement 33 d'entre elles soient de qualité supérieure. Arrondir à 10−310^{-3}.
1 pt

Exercice 2 — Nombres complexes

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; u⃗ , v⃗)(O\,;\,\vec{u}\,,\,\vec{v}), d'unité graphique 2 cm2\ \mathrm{cm}.

1.
Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation z2−2z+4=0z^{2} - 2z + 4 = 0.
1 pt

On note z1=1+i3z_{1} = 1 + i\sqrt{3} et z2=z1‾z_{2} = \overline{z_{1}}. Soient AA et BB les points d'affixes respectives z1z_{1} et z2z_{2}.

2.
Écrire z1z_{1} sous forme trigonométrique puis sous forme exponentielle.
1,5 pts
3.
En déduire la forme algébrique de z1 3z_{1}^{\,3}.
1 pt
4.
Déterminer la nature du triangle OABOAB, puis calculer son aire en cm2\mathrm{cm}^{2}.
1,5 pts

Problème — Étude d'une fonction et calcul d'aire

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :

f(x)=(x2−3) e−xf(x) = (x^{2} - 3)\,e^{-x}

On note (C)(\mathcal{C}) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; ı⃗ , ȷ⃗)(O\,;\,\vec{\imath}\,,\,\vec{\jmath}) d'unité 1 cm1\ \mathrm{cm}.

Partie A — Limites et variations

1.
Calculer lim⁡x→−∞f(x)\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) et lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x). Interpréter graphiquement le second résultat.
1,5 pts
2.
Montrer que, pour tout réel xx, f′(x)=−(x−3)(x+1) e−xf'(x) = -(x-3)(x+1)\,e^{-x}.
1,5 pts
3.
Étudier le signe de f′(x)f'(x) et dresser le tableau de variation de ff.
2 pts
4.
Donner la valeur exacte du maximum de ff sur R\mathbb{R}.
1 pt

Partie B — Tangente et intersection avec l'axe des abscisses

5.
Déterminer une équation de la tangente (T)(T) à la courbe (C)(\mathcal{C}) au point d'abscisse 00.
1 pt
6.
Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation f(x)=0f(x) = 0 et en déduire les points d'intersection de (C)(\mathcal{C}) avec l'axe des abscisses.
1 pt

Partie C — Calcul d'aire

On considère la fonction FF définie sur R\mathbb{R} par F(x)=−(x2+2x−1) e−xF(x) = -(x^{2} + 2x - 1)\,e^{-x}.

7.
Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.
1 pt
8.
Calculer, en cm2\mathrm{cm}^{2} et à 10−210^{-2} près, l'aire A\mathcal{A} du domaine limité par la courbe (C)(\mathcal{C}), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=3x = \sqrt{3} et x=3x = 3.
1 pt

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