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Examens nationaux

Baccalauréat · Série D · Mathématiques — 2017

BAC D — Mathématiques — Sujet type n° 8

  • Série D
  • ⏱ 4 h
  • Coefficient 5
  • Niveau difficile
  • 12 questions

Consignes

  • Le candidat traitera les trois exercices.
  • La calculatrice scientifique non programmable est autorisée.
  • La qualité de la rédaction entre pour une part dans l'appréciation.

Exercice 1 — Probabilités

Une urne contient 55 boules rouges, 33 boules vertes et 22 boules jaunes, indiscernables au toucher. On tire simultanément 33 boules de l'urne.

1.
Calculer le nombre total de tirages possibles.
1 pt
2.
Calculer la probabilité d'obtenir trois boules de la même couleur.
1,5 pts
3.
Calculer la probabilité d'obtenir exactement une boule rouge.
1,5 pts
4.
Calculer la probabilité d'obtenir au moins une boule jaune.
1 pt

Exercice 2 — Nombres complexes et transformations

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère l'équation d'inconnue complexe zz :

z2−4z+8=0z^{2} - 4z + 8 = 0
1.
Résoudre cette équation dans C\mathbb{C}.
1,5 pts
2.
On note zAz_A la solution de partie imaginaire positive et zBz_B l'autre. Déterminer le module et un argument de zAz_A.
2 pts
3.
Placer les points AA et BB d'affixes zAz_A et zBz_B, puis montrer que le triangle OABOAB est isocèle. Calculer son aire.
1,5 pts

Exercice 3 — Étude d'une fonction exponentielle

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :

f(x)=exex+1f(x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}

On note (C)(\mathcal{C}) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité 4 cm4\ \mathrm{cm}.

1.
Déterminer les limites de ff en −∞-\infty et en +∞+\infty. En déduire les asymptotes.
2 pts
2.
Calculer f′(x)f'(x), étudier son signe et dresser le tableau de variations.
2,5 pts
3.
Montrer que le point II de coordonnées (0 ; 12)\left(0\ ;\ \dfrac{1}{2}\right) est centre de symétrie de (C)(\mathcal{C}).
2 pts
4.
Montrer que F(x)=ln⁡(ex+1)F(x) = \ln(e^{x}+1) est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.
1,5 pts
5.
Calculer, en cm2\mathrm{cm}^2, l'aire du domaine compris entre (C)(\mathcal{C}), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0x = 0 et x=1x = 1.
2 pts

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