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Examens nationaux

Baccalauréat · Série D · Mathématiques — 2018

BAC D — Mathématiques — Sujet type n° 7

  • Série D
  • ⏱ 4 h
  • Coefficient 5
  • Niveau difficile
  • 11 questions

Consignes

  • Le candidat traitera les trois exercices.
  • La calculatrice scientifique non programmable est autorisée.
  • La qualité de la rédaction entre pour une part dans l'appréciation.

Exercice 1 — Suites numériques

Une coopérative de production de sésame stocke ses graines. Chaque année, 12 %12\ \% du stock est perdu par altération, et la coopérative ajoute 440440 tonnes de récolte nouvelle. Le stock initial, en 20182018, est de 1 0001\,000 tonnes.

On note unu_n le stock, en tonnes, nn années après 20182018, avec u0=1 000u_0 = 1\,000.

1.
Justifier que, pour tout entier naturel nn, un+1=0,88 un+440u_{n+1} = 0{,}88\,u_n + 440. Calculer u1u_1 et u2u_2.
1,5 pts
2.
On pose vn=un−11 0003v_n = u_n - \dfrac{11\,000}{3}. Montrer que (vn)(v_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
1,5 pts
3.
Exprimer unu_n en fonction de nn, puis déterminer la limite de la suite. Interpréter ce résultat.
2 pts

Exercice 2 — Géométrie dans l'espace

L'espace est rapporté à un repère orthonormé. On considère les points suivants.

A(1 ; 0 ; 2)B(3 ; 2 ; 0)C(2 ; −1 ; 1)A(1\ ;\ 0\ ;\ 2) \qquad B(3\ ;\ 2\ ;\ 0) \qquad C(2\ ;\ -1\ ;\ 1)
1.
Calculer les coordonnées des vecteurs AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC}, puis montrer que AA, BB et CC ne sont pas alignés.
1,5 pts
2.
Calculer le produit scalaire AB⃗⋅AC⃗\vec{AB} \cdot \vec{AC}, puis la mesure de l'angle BAC^\widehat{BAC} arrondie au degré.
2 pts
3.
En déduire l'aire du triangle ABCABC, en unités d'aire.
1,5 pts

Exercice 3 — Fonction logarithme et calcul intégral

On considère la fonction ff définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[]0\ ;\ +\infty[ par :

f(x)=x−2+ln⁡xxf(x) = x - 2 + \frac{\ln x}{x}

On note (C)(\mathcal{C}) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité 2 cm2\ \mathrm{cm}.

1.
Déterminer les limites de ff en 0+0^{+} et en +∞+\infty.
2 pts
2.
Montrer que la droite (D)(\mathcal{D}) d'équation y=x−2y = x - 2 est asymptote oblique à (C)(\mathcal{C}) en +∞+\infty, et étudier la position relative de la courbe et de la droite.
2,5 pts
3.
Calculer f′(x)f'(x) et montrer que ff est strictement croissante sur ]0 ; 1]]0\ ;\ 1].
2 pts
4.
Montrer que l'équation f(x)=0f(x) = 0 admet une unique solution α\alpha dans [1 ; 2][1\ ;\ 2], et en donner un encadrement à 10−110^{-1} près.
2 pts
5.
Calculer ∫1eln⁡xx dx\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x}\,\mathrm{d}x.
1,5 pts

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