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Examens nationaux

Baccalauréat · Série D · Mathématiques — 2019

BAC D — Mathématiques — Sujet type n° 6

  • Série D
  • ⏱ 4 h
  • Coefficient 5
  • Niveau difficile
  • 12 questions

Consignes

  • Le candidat traitera les trois exercices.
  • La calculatrice scientifique non programmable est autorisée.
  • La qualité de la rédaction entre pour une part dans l'appréciation.

Exercice 1 — Probabilités et statistique

Dans un centre de santé, un test de dépistage est proposé. On sait que 2 %2\ \% de la population est atteinte de la maladie. Le test est positif chez 95 %95\ \% des personnes malades et chez 3 %3\ \% des personnes saines.

On note MM l'événement « la personne est malade » et TT l'événement « le test est positif ».

1.
Traduire les données de l'énoncé en probabilités, puis construire l'arbre pondéré correspondant.
1 pt
2.
Calculer la probabilité qu'une personne prise au hasard soit malade et ait un test positif.
1 pt
3.
Calculer P(T)P(T), probabilité que le test soit positif.
1,5 pts
4.
Une personne a un test positif. Calculer la probabilité qu'elle soit réellement malade. Commenter ce résultat.
1,5 pts

Exercice 2 — Nombres complexes

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère les nombres complexes suivants.

z1=1+i3z2=1+iz_1 = 1 + i\sqrt{3} \qquad z_2 = 1 + i
1.
Déterminer le module et un argument de z1z_1 et de z2z_2.
1,5 pts
2.
En déduire la forme trigonométrique de Z=z1z2Z = \dfrac{z_1}{z_2}.
1,5 pts
3.
Écrire ZZ sous forme algébrique, puis en déduire les valeurs exactes de cos⁡π12\cos\dfrac{\pi}{12} et sin⁡π12\sin\dfrac{\pi}{12}.
2 pts

Exercice 3 — Étude d'une fonction et calcul intégral

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :

f(x)=(x+1) e−xf(x) = (x + 1)\,e^{-x}

On note (C)(\mathcal{C}) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité 2 cm2\ \mathrm{cm}.

1.
Déterminer les limites de ff en −∞-\infty et en +∞+\infty. En déduire l'existence d'une asymptote.
2 pts
2.
Calculer f′(x)f'(x) et étudier son signe. Dresser le tableau de variations de ff.
2,5 pts
3.
Donner la valeur exacte du maximum de ff, puis sa valeur approchée à 10−210^{-2} près.
1,5 pts
4.
Montrer que la fonction FF définie par F(x)=−(x+2) e−xF(x) = -(x+2)\,e^{-x} est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.
2 pts
5.
Calculer, en cm2\mathrm{cm}^2, l'aire du domaine compris entre (C)(\mathcal{C}), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0x = 0 et x=1x = 1.
2 pts

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