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Examens nationaux

Baccalauréat · Série D · Mathématiques — 2020

BAC D — Mathématiques — Sujet type n° 5

  • Série D
  • ⏱ 4 h
  • Coefficient 4
  • Niveau difficile
  • 14 questions

Consignes

  • Le candidat traitera les TROIS exercices.
  • La calculatrice non programmable est autorisée.
  • La clarté du raisonnement entre dans la notation.

Exercice 1 — Suites numériques

Une association de microfinance accorde un prêt de 500 000500\,000 F CFA. Chaque mois, l'emprunteur rembourse 30 00030\,000 F CFA, mais le capital restant dû est majoré de 1,5 %1{,}5\ \% d'intérêts avant le remboursement.

On note unu_n le capital restant dû après le nn-ième remboursement, avec u0=500 000u_0 = 500\,000.

1.
Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_n, puis calculer u1u_1.
1,5 pts

On pose vn=un−2 000 000v_n = u_n - 2\,000\,000 pour tout entier naturel nn.

2.
Démontrer que (vn)(v_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
1,5 pts
3.
En déduire l'expression de unu_n en fonction de nn.
1 pt
4.
Déterminer le nombre de mensualités nécessaires pour solder le prêt, et interpréter le résultat.
1 pt

Exercice 2 — Géométrie dans l'espace

L'espace est rapporté à un repère orthonormé. On considère les points A(2 ; 0 ; 1)A(2\,;\,0\,;\,1), B(0 ; 3 ; −1)B(0\,;\,3\,;\,-1) et C(1 ; 1 ; 2)C(1\,;\,1\,;\,2).

1.
Calculer les coordonnées des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.
1 pt
2.
Calculer le produit scalaire AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.
1,5 pts
3.
Calculer les normes ∥AB→∥\|\overrightarrow{AB}\| et ∥AC→∥\|\overrightarrow{AC}\|.
1,5 pts
4.
En déduire une mesure de l'angle BAC^\widehat{BAC}, arrondie au degré.
1 pt

Exercice 3 — Problème : fonction exponentielle

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :

f(x)=41+e−xf(x) = \frac{4}{1 + e^{-x}}

Cette fonction modélise, en milliers d'individus, la taille d'une population en fonction du temps xx exprimé en années. On note (C)(\mathcal{C}) sa courbe représentative.

Partie A — Étude de la fonction

1.
Calculer les limites de ff en −∞-\infty et en +∞+\infty, et interpréter graphiquement.
2 pts
2.
Démontrer que pour tout réel xx :
2 pts
3.
Étudier le signe de f′(x)f'(x) et dresser le tableau de variation de ff.
1,5 pts

Partie B — Exploitation du modèle

4.
Calculer f(0)f(0) et interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
1,5 pts
5.
Déterminer au bout de combien d'années la population atteindra 3 5003\,500 individus. Arrondir au dixième d'année.
2 pts
6.
La population peut-elle dépasser 4 0004\,000 individus ? Justifier, et expliquer ce que représente cette limite pour le milieu étudié.
1 pt

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