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Examens nationaux

Baccalauréat · Série D · Mathématiques — 2021

BAC D — Mathématiques — Sujet type n° 4

  • Série D
  • ⏱ 4 h
  • Coefficient 4
  • Niveau difficile
  • 14 questions

Consignes

  • Le candidat traitera les TROIS exercices.
  • La calculatrice non programmable est autorisée.
  • La clarté du raisonnement entre dans la notation.

Exercice 1 — Probabilités et variable aléatoire

Une urne contient 44 boules blanches et 66 boules noires, indiscernables au toucher. On tire simultanément 33 boules de l'urne.

1.
Calculer le nombre total de tirages possibles.
1 pt
2.
Calculer la probabilité de l'événement AA : « les trois boules sont noires ».
1 pt
3.
Calculer la probabilité de l'événement BB : « exactement deux boules blanches ».
1,5 pts

Soit XX la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.

4.
Déterminer la loi de probabilité de XX, puis calculer son espérance E(X)E(X).
1,5 pts

Exercice 2 — Nombres complexes

On considère l'équation d'inconnue complexe zz :

z2−4z+8=0z^{2} - 4z + 8 = 0
1.
Résoudre cette équation dans C\mathbb{C}.
1,5 pts
2.
On note z1z_1 la solution de partie imaginaire positive. Calculer son module.
1 pt
3.
Déterminer un argument de z1z_1, puis écrire z1z_1 sous forme exponentielle.
1,5 pts
4.
En déduire la valeur de z14z_1^{4}.
1 pt

Exercice 3 — Problème : fonction logarithme

On considère la fonction ff définie sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par :

f(x)=x−2+2ln⁡xf(x) = x - 2 + 2\ln x

On note (C)(\mathcal{C}) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité 1 cm1\ \mathrm{cm}.

Partie A — Étude de la fonction

1.
Calculer les limites de ff aux bornes de son ensemble de définition, et en déduire l'existence d'une asymptote.
1,5 pts
2.
Calculer f′(x)f'(x), étudier son signe et dresser le tableau de variation de ff.
2 pts
3.
Démontrer que l'équation f(x)=0f(x) = 0 admet une unique solution α\alpha sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[, puis en donner un encadrement d'amplitude 0,10{,}1.
1,5 pts

Partie B — Tangente et calcul d'aire

4.
Déterminer l'équation de la tangente (T)(T) à (C)(\mathcal{C}) au point d'abscisse 11.
1,5 pts
5.
Vérifier que F(x)=x22−4x+2xln⁡xF(x) = \dfrac{x^{2}}{2} - 4x + 2x\ln x est une primitive de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.
2 pts
6.
Calculer I=∫12f(x) dx\displaystyle I = \int_{1}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x, puis en donner une valeur approchée au centième.
2 pts

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