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Examens nationaux

Baccalauréat · Série D · Mathématiques — 2022

BAC D — Mathématiques — Sujet type n° 3

  • Série D
  • ⏱ 4 h
  • Coefficient 4
  • Niveau difficile
  • 15 questions

Consignes

  • Le candidat traitera les TROIS exercices.
  • La calculatrice non programmable est autorisée.
  • La clarté du raisonnement entre dans la notation.

Exercice 1 — Probabilités conditionnelles

Dans un centre de santé, on dépiste une maladie qui touche 4 %4\ \% de la population testée. Le test utilisé n'est pas parfait :

  • si la personne est malade, le test est positif avec une probabilité de 0,950{,}95 (sensibilité) ;
  • si la personne est saine, le test est négatif avec une probabilité de 0,900{,}90 (spécificité).

On note MM l'événement « la personne est malade » et TT l'événement « le test est positif ».

1.
Calculer P(M∩T)P(M \cap T).
1 pt
2.
Calculer P(M‾∩T)P(\overline{M} \cap T), probabilité qu'une personne saine soit déclarée positive.
1 pt
3.
En déduire P(T)P(T), probabilité qu'un test pris au hasard soit positif.
1 pt
4.
Calculer PT(M)P_{T}(M), probabilité qu'une personne dont le test est positif soit réellement malade. Arrondir au millième.
1,5 pts
5.
Commenter ce dernier résultat du point de vue du médecin.
0,5 pt

Exercice 2 — Suites numériques

Une association reboise une zone dégradée. Elle plante 20002000 arbres la première année. Chaque année suivante, 80 %80\ \% des arbres déjà en place survivent, et l'association plante 600600 nouveaux arbres.

On note unu_n le nombre d'arbres présents la nn-ième année, avec u1=2000u_1 = 2000.

1.
Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_n, puis calculer u2u_2 et u3u_3.
1,5 pts

On pose vn=un−3000v_n = u_n - 3000 pour tout entier n⩾1n \geqslant 1.

2.
Démontrer que (vn)(v_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
1,5 pts
3.
En déduire l'expression de unu_n en fonction de nn.
1 pt
4.
Déterminer la limite de unu_n et interpréter ce résultat pour l'association.
1 pt

Exercice 3 — Problème : étude d'une fonction

On considère la fonction ff définie sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par :

f(x)=x−2+ln⁡xxf(x) = x - 2 + \frac{\ln x}{x}

On note (C)(\mathcal{C}) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Partie A — Étude des limites et asymptotes

1.
Calculer lim⁡x→0+f(x)\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} f(x) et interpréter graphiquement.
1,5 pts
2.
Calculer lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x).
1 pt
3.
Démontrer que la droite (Δ)(\Delta) d'équation y=x−2y = x - 2 est asymptote oblique à (C)(\mathcal{C}) en +∞+\infty, et étudier la position relative de (C)(\mathcal{C}) et (Δ)(\Delta).
2 pts

Partie B — Sens de variation

4.
Démontrer que pour tout x>0x > 0 :
2 pts
5.
Étudier le signe de f′(x)f'(x) sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ et dresser le tableau de variation de ff.
2 pts

Partie C — Équation f(x) = 0

6.
Démontrer que l'équation f(x)=0f(x) = 0 admet une unique solution α\alpha sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[, puis donner un encadrement de α\alpha d'amplitude 0,10{,}1.
1,5 pts

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