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Examens nationaux

Baccalauréat · Série D · Mathématiques — 2023

BAC D — Mathématiques — Sujet type n° 2

  • Série D
  • ⏱ 4 h
  • Coefficient 4
  • Niveau difficile
  • 14 questions

Consignes

  • L'usage de la calculatrice non programmable est autorisé.
  • Le candidat traitera les DEUX exercices et le problème.
  • La qualité de la rédaction et la clarté des raisonnements entrent pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Exercice 1 — Probabilités conditionnelles

Dans un district sanitaire, une campagne de dépistage est organisée pour une maladie qui touche 2 %2\,\% de la population. Le test utilisé présente les caractéristiques suivantes :

  • si la personne est malade, le test est positif dans 95 %95\,\% des cas ;
  • si la personne est saine, le test est négatif dans 90 %90\,\% des cas.

On choisit une personne au hasard dans la population. On note MM l'événement « la personne est malade » et TT l'événement « le test est positif ».

1.
Calculer la probabilité que la personne soit malade et que son test soit positif.
1 pt
2.
Montrer que la probabilité que le test soit positif est P(T)=0,117P(T) = 0{,}117.
1,5 pts
3.
Une personne a un test positif. Calculer la probabilité qu'elle soit réellement malade. Arrondir au millième.
2 pts
4.
Commenter ce résultat du point de vue de la santé publique.
0,5 pt

Exercice 2 — Suites numériques

Un éleveur de la région du Sahel possède en 2023 un troupeau de u0=5 000u_0 = 5\,000 têtes. Chaque année, il perd 20 %20\,\% de son cheptel — mortalité et ventes confondues — mais achète 600600 nouvelles bêtes.

On note unu_n l'effectif du troupeau en 2023+n2023 + n. Ainsi, pour tout entier naturel nn :

un+1=0,8 un+600u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 600
1.
Calculer u1u_1 et u2u_2.
1 pt
2.
On pose vn=un−3 000v_n = u_n - 3\,000. Démontrer que (vn)(v_n) est géométrique, en précisant sa raison et son premier terme.
1,5 pts
3.
En déduire l'expression de unu_n en fonction de nn.
1,5 pts
4.
Déterminer la limite de (un)(u_n) et l'interpréter pour l'éleveur.
1 pt

Problème — Fonction logarithme et calcul d'aire

On considère la fonction ff définie sur ]0 ; +∞[\left]0\,;\,+\infty\right[ par :

f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}

On note (C)(\mathcal{C}) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité 33 cm.

Partie A — Étude de la fonction

1.
Déterminer les limites de ff aux bornes de son ensemble de définition.
1,5 pts
2.
Démontrer que, pour tout x>0x > 0, f′(x)=1−ln⁡xx2f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^{2}}, puis étudier son signe.
2 pts
3.
Dresser le tableau de variation de ff et préciser son maximum.
2 pts
4.
Résoudre l'équation f(x)=0f(x) = 0 dans ]0 ; +∞[\left]0\,;\,+\infty\right[.
1 pt

Partie B — Calcul d'aire

5.
Calculer I=∫1eln⁡xx dx\displaystyle I = \int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x}\,\mathrm{d}x.
2,5 pts
6.
Donner une interprétation graphique de II, en précisant l'unité employée et en justifiant le signe de ff sur l'intervalle considéré.
1 pt

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