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Examens nationaux

Baccalauréat · Série E · Mathématiques — 2022

BAC E — Mathématiques — Sujet type n° 3

  • Série E
  • ⏱ 4 h
  • Coefficient 5
  • Niveau difficile
  • 14 questions

Consignes

  • Le candidat traitera les deux exercices et le problème.
  • La calculatrice scientifique non programmable est autorisée.
  • Les figures demandées seront tracées avec soin et les constructions apparentes.

Exercice 1 — Nombres complexes

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; u⃗ , v⃗)(O\,;\,\vec{u}\,,\,\vec{v}).

1.
Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation   z2−4z+8=0\;z^{2} - 4z + 8 = 0.
1,5 pts
2.
On pose z1=2+2iz_1 = 2 + 2i. Déterminer le module et un argument de z1z_1.
1,5 pts
3.
En déduire la forme trigonométrique de z1z_1, puis calculer z1 4z_1^{\,4}.
1 pt
4.
Soient AA et BB les points d'affixes z1z_1 et z2=2−2iz_2 = 2 - 2i. Déterminer la nature du triangle OABOAB.
1 pt

Exercice 2 — Géométrie dans l'espace

ABCDEFGHABCDEFGH est un cube d'arête aa. On munit l'espace du repère orthonormé (A ; 1aAB→ , 1aAD→ , 1aAE→)\left(A\,;\,\frac{1}{a}\overrightarrow{AB}\,,\,\frac{1}{a}\overrightarrow{AD}\,,\,\frac{1}{a}\overrightarrow{AE}\right).

M70 220 L230 220M230 220 L300 172M70 220 L70 110M230 220 L230 110M300 172 L300 62M70 110 L230 110M230 110 L300 62M300 62 L140 62M140 62 L70 110M70 220 L140 172M140 172 L300 172M140 172 L140 62M70 220 L230 110M70 220 L300 62ABCDEFGHarête a
1.
Donner les coordonnées des points AA, FF, GG, HH, BB, DD et EE dans ce repère.
1 pt
2.
Calculer AF→⋅AH→\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{AH}, puis en déduire la mesure de l'angle FAH^\widehat{FAH}.
1,5 pts
3.
En déduire la nature du triangle AFHAFH et calculer son aire en fonction de aa.
1,5 pts
4.
Démontrer que la droite (AG)(AG) est perpendiculaire au plan (BDE)(BDE).
1 pt

Problème — Étude d'une fonction homographique généralisée

On considère la fonction ff définie sur R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} par :

f(x)=x+1+4x−1f(x) = x + 1 + \frac{4}{x - 1}

On note (C)(\mathcal{C}) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Partie A — Limites et asymptotes

1.
Calculer les limites de ff en 1−1^{-}, en 1+1^{+}, en −∞-\infty et en +∞+\infty. En déduire l'existence d'une asymptote verticale.
2 pts
2.
Montrer que la droite (Δ)(\Delta) d'équation y=x+1y = x + 1 est asymptote oblique à (C)(\mathcal{C}) en −∞-\infty et en +∞+\infty. Étudier la position de (C)(\mathcal{C}) par rapport à (Δ)(\Delta).
1,5 pts

Partie B — Variations et symétrie

3.
Calculer f′(x)f'(x), étudier son signe et dresser le tableau de variation de ff.
2,5 pts
4.
Préciser les extremums locaux de ff.
1 pt
5.
Démontrer que le point Ω(1 ; 2)\Omega(1\,;\,2) est centre de symétrie de (C)(\mathcal{C}).
1,5 pts

Partie C — Calcul d'aire

6.
Calculer, en unités d'aire, l'aire du domaine compris entre (C)(\mathcal{C}), l'asymptote (Δ)(\Delta) et les droites x=2x = 2 et x=3x = 3. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à 10−210^{-2}.
1,5 pts

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