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Examens nationaux

Baccalauréat · Série E · Mathématiques — 2022

BAC E — Mathématiques — 2022, 1er tour

  • Série E
  • ⏱ 4 h
  • Coefficient 6
  • Niveau difficile
  • 34 questions
  • Session 2022 · 1er tour

Consignes

  • Épreuve commune aux séries C et E. Les calculatrices ne sont pas autorisées.
  • Barème : Exercice 1 (4 points) · Exercice 2 (4 points) · Problème (12 points : A 5,25 · B 4,5 · C 2,25). Le détail par question est proposé par ConcoursBF.

Exercice 1

On observe sur une grande période le nombre d'accidents de scooters à un carrefour. Pour nn scooters franchissant le carrefour durant une année, on admet que la variable aléatoire SnS_n qui totalise le nombre d'accidents de scooters à ce carrefour durant cette année suit une loi binomiale d'espérance mathématique E(Sn)=10E(S_n) = 10. Soit PP la probabilité pour un scooter d'être accidenté à ce carrefour pendant l'année considérée.

1)
Calculer PP, puis donner l'expression de P(Sn=k)P(S_n = k) où kk est un entier tel que 0⩽k⩽n0 \leqslant k \leqslant n.
0,75 pt
2) a)
Prouver que ln⁡[P(Sn=0)]=−10 ln⁡(1−10n)−10n\ln[P(S_n = 0)] = -10\,\dfrac{\ln\left(1 - \frac{10}{n}\right)}{-\frac{10}{n}} pour tout entier naturel n>10n > 10, puis en déduire lim⁡n→+∞P(Sn=0)\lim\limits_{n \to +\infty}P(S_n = 0).
0,75 pt
b)
Démontrer que pour tout kk, 0⩽k⩽n−10 \leqslant k \leqslant n - 1 : P(Sn=k+1)=P(Sn=k)×n−kn−10×10k+1P(S_n = k + 1) = P(S_n = k) \times \dfrac{n - k}{n - 10} \times \dfrac{10}{k + 1}.
0,75 pt

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