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Examens nationaux

Baccalauréat · Série E · Mathématiques — 2023

BAC E — Mathématiques — Sujet type n° 2

  • Série E
  • ⏱ 4 h
  • Coefficient 5
  • Niveau difficile
  • 13 questions

Consignes

  • Le candidat traitera les deux exercices et le problème.
  • La calculatrice scientifique non programmable est autorisée.
  • La rigueur des raisonnements entre pour une part importante dans l'appréciation.

Exercice 1 — Nombres complexes

1.
Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation z2−4z+8=0z^{2} - 4z + 8 = 0.
1,5 pts
2.
On pose z1=2+2iz_{1} = 2 + 2i. Écrire z1z_{1} sous forme exponentielle.
2 pts
3.
En déduire la forme algébrique de z1 4z_{1}^{\,4}.
1,5 pts

Exercice 2 — Géométrie dans l'espace

L'espace est rapporté à un repère orthonormé. On considère les vecteurs u⃗ (1 ; 2 ; −1)\vec{u}\,(1\,;\,2\,;\,-1) et v⃗ (2 ; −1 ; 3)\vec{v}\,(2\,;\,-1\,;\,3).

1.
Calculer le produit scalaire u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.
1,5 pts
2.
Calculer les normes ∥u⃗∥\|\vec{u}\| et ∥v⃗∥\|\vec{v}\|.
1,5 pts
3.
En déduire une mesure de l'angle formé par les deux vecteurs, arrondie au degré près.
2 pts

Problème — Étude d'une fonction rationnelle

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2xx2+1f(x) = \dfrac{2x}{x^{2}+1}, de courbe (C)(\mathcal{C}) dans un repère orthonormé d'unité 2 cm2\ \mathrm{cm}.

1.
Montrer que ff est impaire. Quelle conséquence graphique en tire-t-on ?
1 pt
2.
Calculer les limites de ff en −∞-\infty et en +∞+\infty, et interpréter graphiquement.
1,5 pts
3.
Montrer que f′(x)=2(1−x2)(x2+1)2f'(x) = \dfrac{2(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}}.
2 pts
4.
Étudier le signe de f′(x)f'(x) et dresser le tableau de variation de ff.
2 pts
5.
Déterminer une équation de la tangente à (C)(\mathcal{C}) au point d'abscisse 00.
1 pt
6.
Montrer que la fonction FF définie par F(x)=ln⁡(x2+1)F(x) = \ln(x^{2}+1) est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.
1 pt
7.
Calculer, en cm2\mathrm{cm}^{2}, l'aire du domaine limité par (C)(\mathcal{C}), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0x = 0 et x=1x = 1.
1,5 pts

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