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Examens nationaux

Baccalauréat · Série E · Mathématiques — 2024

BAC E — Mathématiques — Sujet type n° 1

  • Série E
  • ⏱ 4 h
  • Coefficient 5
  • Niveau difficile
  • 12 questions

Consignes

  • L'épreuve comporte deux exercices et un problème.
  • L'usage de la calculatrice non programmable est autorisé.
  • La qualité de la rédaction et la rigueur des raisonnements entrent dans l'appréciation des copies.

Exercice 1 — Équation trigonométrique

On considère l'équation suivante, d'inconnue réelle xx :

2cos⁡2x−3cos⁡x+1=02\cos^{2} x - 3\cos x + 1 = 0
1.
On pose X=cos⁡xX = \cos x. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation du second degré 2X2−3X+1=02X^{2} - 3X + 1 = 0.
2 pts
2.
En déduire l'ensemble des solutions de l'équation initiale dans l'intervalle [0 ; 2π]\left[0\,;\,2\pi\right].
3 pts

Exercice 2 — Géométrie dans l'espace

L'espace est rapporté à un repère orthonormé. On considère les points A(1 ; 0 ; 2)A(1\,;\,0\,;\,2), B(3 ; 2 ; 0)B(3\,;\,2\,;\,0) et C(0 ; 1 ; 1)C(0\,;\,1\,;\,1).

1.
Déterminer les coordonnées des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.
1,5 pts
2.
Calculer le produit scalaire AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}.
1,5 pts
3.
Calculer la norme ∥AB→∥\left\|\overrightarrow{AB}\right\| sous forme exacte.
1 pt
4.
Le triangle ABCABC est-il rectangle en AA ? Justifier.
1 pt

Problème — Étude d'une fonction exponentielle

On considère la fonction ff définie sur [0 ; +∞[\left[0\,;\,+\infty\right[ par :

f(x)=x e−xf(x) = x\,e^{-x}

On note (C)(\mathcal{C}) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité 44 cm.

1.
Déterminer la limite de ff en +∞+\infty et interpréter graphiquement le résultat.
1,5 pts
2.
Démontrer que, pour tout x≥0x \ge 0, f′(x)=(1−x) e−xf'(x) = (1 - x)\,e^{-x}, puis étudier son signe.
2 pts
3.
Dresser le tableau de variation de ff et préciser son maximum.
2 pts
4.
Déterminer une équation de la tangente (T)(T) à la courbe (C)(\mathcal{C}) au point d'abscisse 00.
1 pt
5.
À l'aide d'une intégration par parties, calculer I=∫01x e−x dx\displaystyle I = \int_{0}^{1} x\,e^{-x}\,\mathrm{d}x.
2,5 pts
6.
Donner une interprétation graphique du nombre II, en précisant l'unité employée.
1 pt

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