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Examens nationaux

Baccalauréat · Série C · Mathématiques — 2024

BAC C — Mathématiques — Sujet type n° 1

  • Série C
  • ⏱ 4 h
  • Coefficient 5
  • Niveau difficile
  • 15 questions

Consignes

  • L'usage de la calculatrice non programmable est autorisé.
  • Le candidat traitera les DEUX exercices et le problème.
  • La qualité de la rédaction et la rigueur des raisonnements entrent pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Exercice 1 — Nombres complexes

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère les nombres complexes :

z1=1+i3etz2=1+iz_1 = 1 + i\sqrt{3} \qquad \text{et} \qquad z_2 = 1 + i
1.a)
Déterminer le module de z1z_1.
0,75 pt
1.b)
Déterminer un argument de z1z_1.
0,75 pt
1.c)
Déterminer le module et un argument de z2z_2.
1 pt
2.
On pose Z=z1z2Z = \dfrac{z_1}{z_2}. Déterminer le module et un argument de ZZ, puis écrire ZZ sous forme trigonométrique.
1,5 pts
3.
Écrire ZZ sous forme algébrique, puis en déduire la valeur exacte de cos⁡π12\cos\dfrac{\pi}{12}.
1 pt

Exercice 2 — Suites numériques et raisonnement par récurrence

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=1u_0 = 1 et, pour tout entier naturel nn :

un+1=12 un+3u_{n+1} = \frac{1}{2}\,u_n + 3
1.
Calculer u1u_1 et u2u_2.
1 pt
2.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, on a un<6u_n < 6.
2 pts
3.
On pose vn=un−6v_n = u_n - 6. Démontrer que (vn)(v_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
1 pt
4.
En déduire l'expression de unu_n en fonction de nn, puis la limite de la suite (un)(u_n).
1 pt

Problème — Fonction exponentielle et calcul intégral

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :

f(x)=(x+1) e−xf(x) = (x + 1)\,e^{-x}

On note (C)(\mathcal{C}) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité 22 cm.

Partie A — Étude de la fonction

1.
Déterminer les limites de ff en −∞-\infty et en +∞+\infty. Interpréter graphiquement le résultat obtenu en +∞+\infty.
1,5 pts
2.
Démontrer que, pour tout réel xx, f′(x)=−x e−xf'(x) = -x\,e^{-x}, puis étudier le signe de f′f'.
2 pts
3.
Dresser le tableau de variation de ff et préciser son maximum.
1,5 pts
4.
Déterminer une équation de la tangente (T)(T) à la courbe (C)(\mathcal{C}) au point d'abscisse 11.
1,5 pts

Partie B — Calcul intégral

5.
À l'aide d'une intégration par parties, calculer I=∫01(x+1) e−x dx\displaystyle I = \int_{0}^{1} (x+1)\,e^{-x}\,\mathrm{d}x.
2,5 pts
6.
Donner une interprétation graphique du nombre II, en précisant l'unité employée.
1 pt

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