Aller au contenu
ConcoursBFRéussir ensemble
  1. Accueil
  2. Annales
  3. Baccalauréat
  4. Mathématiques

Examens nationaux

Baccalauréat · Série D · Mathématiques — 2024

BAC D — Mathématiques — Sujet type n° 1

  • Série D
  • ⏱ 4 h
  • Coefficient 4
  • Niveau difficile
  • 13 questions

Consignes

  • L'usage de la calculatrice non programmable est autorisé.
  • Le candidat traitera les DEUX exercices et le problème.
  • La qualité de la rédaction et la clarté des raisonnements entrent pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Exercice 1 — Probabilités

Une unité de production d'eau en sachets installée à Ouagadougou dispose de deux machines de conditionnement M1M_1 et M2M_2. La machine M1M_1 conditionne 60 %60\,\% de la production journalière et la machine M2M_2 le reste.

Un contrôle de qualité révèle que 3 %3\,\% des sachets issus de M1M_1 et 5 %5\,\% des sachets issus de M2M_2 sont non conformes aux normes d'hygiène.

On prélève au hasard un sachet dans la production d'une journée. On note M1M_1 l'événement « le sachet provient de la machine M1M_1 », M2M_2 l'événement « le sachet provient de la machine M2M_2 » et DD l'événement « le sachet est non conforme ».

1.a)
Calculer la probabilité que le sachet prélevé provienne de M1M_1 et soit non conforme, c'est-à-dire P(M1∩D)P(M_1 \cap D).
0,5 pt
1.b)
Montrer que la probabilité qu'un sachet prélevé au hasard soit non conforme est P(D)=0,038P(D) = 0{,}038.
1,5 pts
2.
Le sachet prélevé est non conforme. Calculer la probabilité qu'il provienne de la machine M2M_2. On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible.
1,5 pts
3.
On prélève au hasard 55 sachets dans la production journalière. La production étant très importante, ce prélèvement est assimilé à un tirage avec remise. On note XX la variable aléatoire égale au nombre de sachets non conformes parmi les 55 prélevés.
1,5 pts

Exercice 2 — Suites numériques

Une coopérative cotonnière de la province du Houet exploite en 2024 une superficie produisant u0=1 200u_0 = 1\,200 tonnes de coton graine.

Les études agronomiques montrent que, d'une année sur l'autre, l'appauvrissement des sols fait perdre 10 %10\,\% de la production, mais que la mise en valeur de nouvelles parcelles apporte 150150 tonnes supplémentaires.

On note unu_n la production, en tonnes, de l'année 2024+n2024 + n. On a donc, pour tout entier naturel nn :

un+1=0,9 un+150u_{n+1} = 0{,}9\,u_n + 150
1.
Calculer u1u_1 et u2u_2.
1 pt
2.
On pose, pour tout entier naturel nn, vn=un−1 500v_n = u_n - 1\,500. Démontrer que la suite (vn)(v_n) est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme v0v_0.
1,5 pts
3.
En déduire l'expression de unu_n en fonction de nn.
1,5 pts
4.
Déterminer la limite de la suite (un)(u_n), puis interpréter ce résultat dans le contexte de la coopérative.
1 pt

Problème — Étude d'une fonction et calcul d'aire

On considère la fonction ff définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[\left]0\,;\,+\infty\right[ par :

f(x)=−x+2+ln⁡xf(x) = -x + 2 + \ln x

On note (C)(\mathcal{C}) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; ı⃗ , ȷ⃗)\left(O\,;\,\vec{\imath}\,,\,\vec{\jmath}\right) d'unité 22 cm.

Partie A — Étude de la fonction

1.
Déterminer les limites de ff aux bornes de son ensemble de définition.
1,5 pts
2.
Calculer f′(x)f'(x) pour tout xx de ]0 ; +∞[\left]0\,;\,+\infty\right[, puis étudier son signe.
2 pts
3.
Dresser le tableau de variation de ff, puis préciser son maximum.
1,5 pts
4.
Démontrer que l'équation f(x)=0f(x) = 0 admet exactement deux solutions α\alpha et β\beta telles que 0<α<1<β0 < \alpha < 1 < \beta, puis donner un encadrement de β\beta d'amplitude 10−110^{-1}.
2,5 pts

Partie B — Calcul d'aire

On admet que f(x)>0f(x) > 0 pour tout xx appartenant à l'intervalle [1 ; e]\left[1\,;\,e\right].

5.
Calculer, en unités d'aire, l'aire A\mathcal{A} du domaine délimité par la courbe (C)(\mathcal{C}), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=1x = 1 et x=ex = e.
2,5 pts

Autres épreuves du même examen

Baccalauréat2024

Mathématiques

Série C

  • ⏱ 4 h
  • Coef. 5
  • difficile
Baccalauréat2024

Mathématiques

Série A

  • ⏱ 2 h
  • Coef. 2
  • moyen
Baccalauréat2024

Allemand

Série A

  • ⏱ 2 h
  • Coef. 2
  • moyen